Area Mathematics - General concepts and linear algebra / Vectors and tensors

IEV ref 102-03-36

en
vector product
axial vector $U×V$, orthogonal to two given vectors U and V, such that the three vectors U, V and $U×V$ form a right-handed trihedron or a left-handed trihedron according to the space orientation, with its magnitude equal to the product of the magnitudes of the given vectors and the sine of the angle $\vartheta$ between them

$|U×V|=|U|\cdot |V|\cdot \mathrm{sin}\vartheta$

Note 1 to entry: In the three-dimensional Euclidean space with given space orientation, the vector product of two vectors U and V is the unique axial vector $U×V$ such that for any vector W in the same vector space the scalar triple product (U,V,W) is equal to the scalar product $\left(U×V\right)\cdot W$.

Note 2 to entry: For two vectors $U={U}_{x}{e}_{x}+{U}_{y}{e}_{y}+{U}_{z}{e}_{z}$ and $V={V}_{x}{e}_{x}+{V}_{y}{e}_{y}+{V}_{z}{e}_{z}$, where ${e}_{x}\text{,}{e}_{y}\text{,}{e}_{z}$ is an orthonormal base, the vector product is expressed by $U×V=\left({U}_{y}{V}_{z}-{U}_{z}{V}_{y}\right){e}_{x}+\left({U}_{z}{V}_{x}-{U}_{x}{V}_{z}\right){e}_{y}+\left({U}_{x}{V}_{y}-{U}_{y}{V}_{x}\right){e}_{z}$.

The vector product can also be expressed as $U×\text{}V=|\begin{array}{ccc}{e}_{x}& {e}_{y}& {e}_{z}\\ {U}_{x}& {U}_{y}& {U}_{z}\\ {V}_{x}& {V}_{y}& {V}_{z}\end{array}|$ using a sum similar to the sum used to obtain the determinant of a matrix. The vector product is therefore the axial vector associated with the antisymmetric tensor $U\otimes V-V\otimes U$ (see IEV 102-03-43).

Note 3 to entry: For two complex vectors U and V, either the vector product $U×V$ or one of the vector products ${U}^{*}×V$ or $U×{V}^{*}$ may be used depending on the application.

Note 4 to entry: A vector product can be similarly defined for a pair consisting of a polar vector and an axial vector and is then a polar vector, or for a pair of two axial vectors and is then an axial vector.

Note 5 to entry: In the usual three-dimensional space, the vector product of two vector quantities is the vector product of the associated unit vectors multiplied by the product of the scalar quantities.

Note 6 to entry: The vector product operation is denoted by a cross (×) between the two symbols representing the vectors. The use of the symbol ∧ is deprecated.

fr
produit vectoriel, m
produit extérieur, m
vecteur axial $U×V$, orthogonal à deux vecteurs donnés U et V, tel que les trois vecteurs U, V et $U×V$ forment un trièdre direct ou un trièdre rétrograde selon l'orientation de l'espace, avec une norme égale au produit des normes des vecteurs donnés et du sinus de leur angle $\vartheta$

$|U×V|=|U|\cdot |V|\cdot \mathrm{sin}\vartheta$

Note 1 à l'article: Dans l'espace euclidien à trois dimensions d'orientation donnée, le produit vectoriel de deux vecteurs U et V est l'unique vecteur axial $U×V$ tel que, pour tout vecteur W du même espace, le produit mixte (U,V,W) soit égal au produit scalaire $\left(U×V\right)\cdot W$.

Note 2 à l'article: Pour deux vecteurs $U={U}_{x}{e}_{x}+{U}_{y}{e}_{y}+{U}_{z}{e}_{z}$ et $V={V}_{x}{e}_{x}+{V}_{y}{e}_{y}+{V}_{z}{e}_{z}$, où ${e}_{x}\text{,}{e}_{y}\text{,}{e}_{z}$ est une base orthonormée, le produit vectoriel est exprimé par $U×V=\left({U}_{y}{V}_{z}-{U}_{z}{V}_{y}\right){e}_{x}+\left({U}_{z}{V}_{x}-{U}_{x}{V}_{z}\right){e}_{y}+\left({U}_{x}{V}_{y}-{U}_{y}{V}_{x}\right){e}_{z}$.

On peut aussi exprimer le produit vectoriel sous la forme $U×\text{}V=|\begin{array}{ccc}{e}_{x}& {e}_{y}& {e}_{z}\\ {U}_{x}& {U}_{y}& {U}_{z}\\ {V}_{x}& {V}_{y}& {V}_{z}\end{array}|$ en utilisant une somme semblable à celle utilisée pour obtenir le déterminant d'une matrice. Le produit vectoriel est donc le vecteur axial associé au tenseur antisymétrique $U\otimes V-V\otimes U$ (voir IEV 102-03-43).

Note 3 à l'article: Pour deux vecteurs complexes U et V, on peut selon l'application utiliser soit le produit vectoriel $U×V$, soit l'un des produits ${U}^{*}×V$ ou $U×{V}^{*}$.

Note 4 à l'article: On peut définir de la même manière, pour un couple constitué d'un vecteur polaire et d'un vecteur axial un produit vectoriel qui est un vecteur polaire, et pour un couple de deux vecteurs axiaux un produit vectoriel qui est un vecteur axial.

Note 5 à l'article: Dans l'espace usuel à trois dimensions, le produit vectoriel de deux grandeurs vectorielles est le produit vectoriel des vecteurs unitaires associés multiplié par le produit des grandeurs scalaires.

Note 6 à l'article: Le produit vectoriel est indiqué par une croix (×) entre les deux symboles représentant les vecteurs. L'emploi du symbole ∧ est déconseillé.

de
Vektorprodukt, n
vektorielles Produkt, n

es
producto vectorial
producto externo

ko
벡터곱

ja
ベクトル積

 nl BE vectorieel product, nvectorproduct, nuitproduct, nkruisproduct, n

pl
iloczyn wektorowy

pt
produto vectorial

sr
векторски производ, м јд

sv
vektorprodukt, kryssprodukt

zh