Area Mathematics - General concepts and linear algebra / Vectors and tensors

IEV ref 102-03-18

en
Hermitian product
complex scalar, denoted by $U\cdot {V}^{*}$, attributed to any pair of vectors U and V in a complex vector space by a given function, with the following properties:

• $V\cdot {U}^{*}={\left(U\cdot {V}^{*}\right)}^{*}$,
• $\left(\alpha \text{\hspace{0.17em}}U\right)\cdot {V}^{*}=\alpha \text{\hspace{0.17em}}\left(U\cdot {V}^{*}\right)$ and $U\cdot {\left(\beta V\right)}^{*}={\beta }^{*}\left(U\cdot {V}^{*}\right)$ where α and β are complex scalars,
• $\left(U+V\right)\cdot {W}^{*}=U\cdot {W}^{*}+\text{\hspace{0.17em}}V\cdot {W}^{*}$ for every vector W existing in the same vector space,
• $U\cdot {U}^{*}>0$ for $U\ne 0$,

where the asterisk denotes the conjugate vector

Note 1 to entry: In an n-dimensional space with orthonormal base vectors the Hermitian product of two vectors U and V is the sum of the products of each coordinate ${U}_{i}$of the vector U and the conjugate of the corresponding coordinate ${V}_{i}$ of the vector V:

$U\cdot {V}^{*}=\sum _{i}{U}_{i}{V}_{i}{}^{*}$

Note 2 to entry: For two complex vectors or two complex vector quantities U and V either the Hermitian product $U\cdot {V}^{*}$ or a conjugate Hermitian product ${U}^{*}\cdot V$ may be used depending on the application. The Hermitian product $U\cdot {U}^{*}$ or ${U}^{*}\cdot U$ is a real scalar or a real scalar quantity, respectively.

Note 3 to entry: The Hermitian product is denoted by a half-high dot (·) between the two symbols representing one vector and the conjugate of the other.

fr
produit hermitien, m
scalaire, noté $U\cdot {V}^{*}$, attribué à tout couple de vecteurs U et V d'un espace vectoriel complexe par une fonction donnée, avec les propriétés suivantes:

• $V\cdot {U}^{*}={\left(U\cdot {V}^{*}\right)}^{*}$,
• $\left(\alpha \text{\hspace{0.17em}}U\right)\cdot {V}^{*}=\alpha \text{\hspace{0.17em}}\left(U\cdot {V}^{*}\right)$ et $U\cdot {\left(\beta V\right)}^{*}={\beta }^{*}\left(U\cdot {V}^{*}\right)$α et β sont des scalaires complexes,
• $\left(U+V\right)\cdot {W}^{*}=U\cdot {W}^{*}+\text{\hspace{0.17em}}V\cdot {W}^{*}$ pour tout vecteur W du même espace vectoriel,
• $U\cdot {U}^{*}>0$ pour $U\ne 0$,

où l'astérisque indique le vecteur conjugué

Note 1 à l'article: Dans un espace à n dimensions muni de vecteurs de base orthonormés, le produit hermitien de deux vecteurs U et V est la somme des produits de chaque coordonnée ${U}_{i}$ du vecteur U par le conjugué de la coordonnée correspondante ${V}_{i}$ du vecteur V:

$U\cdot {V}^{*}=\sum _{i}{U}_{i}{V}_{i}{}^{*}$

Note 2 à l'article: Pour deux vecteurs complexes ou deux grandeurs vectorielles complexes U et V, on peut selon l'application utiliser soit le produit hermitien $U\cdot {V}^{*}$, soit un produit hermitien conjugué ${U}^{*}\cdot V$. Le produit hermitien $U\cdot {U}^{*}$ ou ${U}^{*}\cdot U$ est respectivement un scalaire réel ou une grandeur scalaire réelle.

Note 3 à l'article: Le produit hermitien est indiqué par un point à mi-hauteur (·) entre les deux symboles représentant l'un des vecteurs et le conjugué de l'autre.

de
hermitesches Produkt, n

es
producto hermítico

ko
에르미트 곱

ja
エルミート積

 nl be hermitisch inproduct, n

pl
iloczyn Hermite’a

pt
produto hermitiano

sr
Ермитов производ, м јд

sv
hermitisk produkt

zh